Calculadora de MMC e MDC

Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de 2 a 10 números com fatoração prima, escada de divisões ou Euclides, além de divisibilidade.

Cada fatoração e cadeia de restos é calculada localmente no seu navegador. Nada sai do seu dispositivo.

MDC (máximo divisor comum)
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MMC (mínimo múltiplo comum)
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Como funciona

As três abas calculam as mesmas respostas com máquinas diferentes, e o painel de passos refaz o método escolhido com os seus números a cada digitação. Como amostra, pegue 12 e 18: 12 = 2²×3 e 18 = 2×3². O MDC pega cada primo com o menor expoente (2¹×3¹ = 6), o MMC com o maior (2²×3² = 36), e Euclides chega a 6 pelos restos: 18 = 1×12 + 6, depois 12 = 2×6 + 0. Rotas diferentes, uma resposta em cada.

O princípio do mín/máx dos fatores
Divisores comuns só podem usar primos que aparecem em todo número, e só até o menor expoente — por isso o MDC é o produto das potências mínimas. Múltiplos comuns precisam conter todo primo de todo número pelo menos até o maior expoente — por isso o MMC é o produto das máximas. Com 12 e 18: mín(2,1) = 1 para os doses, mín(1,2) = 1 para os três, e os máximos 2 e 2. Isso vale para qualquer quantidade de entradas.
Euclides: restos em vez de fatorar
mdc(a, b) = mdc(b, a mod b): qualquer número que divide a e b divide também o resto, então o par encolhe sem perder divisores comuns. Para 12 e 18 a cadeia 18, 12 → 12, 6 → 6, 0 para no 6. Com mais de dois números a ferramenta encadeia pares, e mdc(0, n) = n faz as cadeias começarem limpas mesmo com zeros.
Por que o MMC é verificado por divisão
Depois de calcular, o painel confere se MMC ÷ cada entrada dá resto 0 — a propriedade que define um múltiplo comum — e se ele é o menor positivo assim, exatamente o que a construção com expoentes máximos garante. Se houver 0 entre as entradas, a verificação dá lugar à nota de convenção, porque 0 é tecnicamente múltiplo de todo inteiro.

Perguntas frequentes

Como sei se um problema pede MMC ou MDC?

Olhe o formato do agrupamento. Dividir em maiores montes iguais —'máximo de alunos', 'maior tamanho de azulejo'— é problema de MDC porque a resposta precisa dividir o que você tem. Esperar ciclos se alinharem de novo —'quando dois ônibus saem juntos'— é problema de MMC porque a resposta tem de ser múltipla de cada ciclo. Se a resposta é maior que todos os dados, é MMC; se menor, MDC.

Essa calculadora acha o MMC de frações?

Não o MMC de frações em si — essa é outra fórmula (MMC dos numeradores sobre MDC dos denominadores) e mora nas ferramentas de fração. Aqui as entradas são só inteiros. Use a calculadora de frações para operar com elas e volte com os denominadores se precisar de um comum.

O que acontece com zero ou números negativos?

Negativos seguem a convenção do valor absoluto: MDC(-12, 18) = 6, e os resultados saem sempre positivos. Zero é válido para o MDC — todo número divide 0, então MDC(0, n) = n — mas o MMC de qualquer conjunto com 0 é 0, porque 0 é múltiplo de tudo. A calculadora declara qual convenção usou em vez de redefinir seus números escondido.

Por que a × b = MDC × MMC só aparece para dois números?

Porque a identidade é realmente de par: ela compara os expoentes mínimo e máximo por primo de duas fatorações, e aí mín × máx recupera a soma dos expoentes. Com três números isso quebra — para 12, 18 e 30 o produto é 6480 enquanto MDC × MMC = 6 × 180 = 1080. A ferramenta mostra a checagem só com exatamente duas entradas.

Algo é enviado para um servidor?

Não. Fatorações, escadas, cadeias de Euclides e verificações rodam no seu navegador em JavaScript puro. Nada sai do dispositivo, e não há conta nem requisição de rede associada ao cálculo.