Como calcular inflação composta: duas fórmulas e uma taxa que você traz consigo

A resposta curta

Para calcular inflação composta, transforme a taxa anual num fator de crescimento e eleve-o a uma potência. Para frente: valor futuro = valor presente × (1 + taxa)^anos. Para trás: valor passado = valor presente ÷ (1 + taxa)^anos. A 3% por 10 anos o fator é 1.03^10 = 1.3439, então 100 vira 134.39 indo para frente e 74.41 voltando. Essas duas linhas são o método, e são exatamente as duas linhas em que a ferramenta foi construída.

A taxa é sempre sua. Esta calculadora não traz índice de preços, série histórica nem número de espécie alguma; ela não consulta, sugere nem valida o valor que você digita. Também não tem campo de ano: a terceira entrada é uma contagem de anos, então a ferramenta escala um valor por uma taxa ao longo de uma duração, nunca entre duas datas de calendário. Se você chegou querendo os dólares de 1995 em dinheiro de hoje sem escolher a taxa, este não é esse instrumento, e a penúltima seção diz o que usar em vez disso.

• Para frente: valor × (1 + taxa)^anos. A 3% por 10 anos, 100 × 1.3439 = 134.39.
• Para trás: valor ÷ (1 + taxa)^anos. Os mesmos dez anos transformam os 100 de hoje no equivalente a 74.41 naquela época.
• Compor não é somar: 3% ao ano por dez anos é uma alta de 34.39%, não de 30%.
• O expoente manda. Dobrar os anos eleva o fator ao quadrado, então um erro de um ponto na taxa é trivial em três anos e relevante em quarenta.

O que composto significa aqui: um ano, depois dez

A inflação se compõe porque o aumento de cada ano é cobrado sobre preços que já subiram. Comece em 100 a 3% e percorra: depois do ano um, 103.00; depois do ano dois, 106.09, porque o aumento do segundo ano é 3% de 103.00, ou seja, 3.09 em vez dos 3.00 que você somou no ano um. O ano três dá 109.27, e a parcela daquele ano é 3.18. Nada na taxa mudou; a base cresceu, e o mesmo percentual de uma base maior é mais dinheiro.

Essa é toda a diferença entre compor e somar. Some 3.00 por ano durante dez anos e você chega a 130.00, que é o instinto com que a maioria responde a essa pergunta. A resposta correta é 100 × 1.03^10 = 134.39. O erro é de só 4.39 num horizonte de dez anos, e é por isso que o atalho sobrevive estando errado há tanto tempo.

Estique os dois métodos até um século e o atalho desaba. Somar dá 100 × (1 + 0.03 × 100) = 400. Compor dá 100 × 1.03^100 = 1,921.86, porque 1.03^100 é cerca de 19.2, então os preços terminam cerca de dezenove vezes mais altos. Uma regra linear subestima a resposta de cem anos por um fator de cerca de cinco, e a distância aumenta a cada ano que você soma.

Uma observação estrutural: a ferramenta eleva a uma potência uma única vez, sem loop ano a ano dentro dela, então imprime o ponto final e nada mais. A travessia acima é algo que você faz por conta própria quando precisa do caminho, não do destino.

Os dois sentidos, e por que o retroativo não é taxa negativa

A fórmula retroativa divide pelo mesmo fator que a fórmula prospectiva multiplica, o que não é o mesmo que aplicar uma taxa negativa. Rode as duas sobre 100 em dez anos. Dividir dá 100 ÷ 1.03^10 = 74.41. Digitar uma taxa de -3 e ir para frente dá 100 × 0.97^10 = 73.74. Elas diferem em 0.67 sobre uma base de 100, o que parece trivial até você notar que a distância não é fixa: ela cresce com a taxa e com o horizonte, porque as duas são funções diferentes das mesmas entradas.

O motivo é que percentuais são assimétricos. Uma alta de 34.39% é desfeita por uma queda de 25.59%, não por uma queda de 34.39%, porque a queda é medida a partir do nível mais alto. A versão de um ano é fácil de conferir: 1.03 × 0.97 = 0.9991, então uma alta de 3% seguida de uma queda de 3% te deixa 0.09% aquém do empate. Repita o par dez vezes e 100 vira 99.10. Multiplicar por (1 - taxa) é sempre um estorno levemente pequeno demais de multiplicar por (1 + taxa), e dividir por (1 + taxa)^anos é o estorno correto.

A segunda armadilha é de que lado o seu valor fica, e é o jeito mais comum de tirar de uma ferramenta que não discute com você um número errado e dito com confiança. Se uma cesta custa 100 em dinheiro de hoje e os preços subiram 3% ao ano por uma década, dividir diz que aquela cesta custava 74.41 no começo da década. Se em vez disso você ganhou 100 no começo e quer saber o poder de compra dela agora, esse é o sentido prospectivo e a resposta é 134.39. Mesma taxa, mesmos dez anos, mesmo 100, perguntas diferentes.

De onde vem uma taxa defensável

Não existe uma única taxa de inflação para um país num período, porque não existe uma única cesta de bens. Qualquer resposta só é tão defensável quanto o número que você escolheu, então esta parte vale mais tempo do que a aritmética. Três fontes cobrem quase todo caso, e as três terminam no mesmo lugar: um percentual que você digita no campo de taxa por conta própria.

Seus próprios gastos, a partir dos seus próprios registros

Para perguntas pessoais, os seus preços batem qualquer média publicada. Aluguel, mercado, seguro e combustível cada um se moveu na sua taxa, e se o que você tenta pagar é um deles, o número manchete é a entrada errada. Encontre o que você pagou em duas datas por algo comparável, divida o total posterior pelo anterior e converta essa razão numa taxa anual extraindo a raiz: taxa anual = (fim ÷ início) elevado a (1 ÷ anos), menos 1.

Faça a conta. O aluguel foi de 1,000 por mês a 1,400 em cinco anos, então a razão é 1.4 e a taxa anual é 1.4 elevado a um quinto, que é 1.0696, cerca de 6.96% ao ano. Confira rodando essa taxa para frente: 100 a 6.96% por cinco anos devolve 139.99, dois centavos aquém dos 140 que você observou só porque a taxa foi arredondada. Essa taxa, não 3%, é o número a digitar.

A ferramenta não faz essa inversão para você. Ela recebe uma taxa e produz um valor; nenhum modo recebe dois valores e devolve a taxa entre eles. Ou extraia a raiz na mão, ou trate o resultado ao vivo como uma busca: digite uma taxa, veja o número se mover enquanto você edita, e ajuste até a saída bater com o valor que você já conhece.

Um índice publicado que você mesmo traz

Para qualquer coisa que você precise defender diante de outra pessoa, use o índice de preços ao consumidor, o CPI, publicado pelo órgão de estatística do seu país, já que é contra esse número que os outros vão te conferir. Leia o índice em duas datas, tire a razão e anualize com a mesma raiz. A página não linka série desse tipo nem tem campo para valor de índice: você lê em outro lugar e digita o percentual.

Faça a média do intervalo geometricamente, nunca aritmeticamente. Se as taxas anuais foram 2%, 8% e 1%, a média simples é 3.667%, mas a taxa que reproduz o mesmo total vem de 1.02 × 1.08 × 1.01 = 1.1126, cuja raiz cúbica é 1.0362, então 3.62%. A diferença existe porque o ano do meio foi cobrado sobre uma base que o primeiro ano já tinha elevado. Ela se compõe, e citar uma média aritmética como inflação média anual é algo que um revisor pega.

Uma convenção de planejamento, usada de propósito

Quando a pergunta é para frente e você não tem base para uma previsão, use uma meta declarada em vez de um palpite. A maioria das economias avançadas publica um objetivo de estabilidade de preços perto de 2% ao ano, defensável porque é uma âncora em que as instituições se comprometem, não uma previsão que você inventou. O próprio texto de referência da calculadora oferece 3% ao ano como regra prática comum de médio prazo para os Estados Unidos, observando que as taxas reais variam: um padrão razoável para um esboço de longo prazo, desde que você consiga dizer em voz alta que é uma convenção. Escreva a taxa e a fonte ao lado do resultado, já que a calculadora não guarda nada.

Contas prontas que você confere na mão

A calculadora abre com valor 100, taxa 3, anos 10 e o sentido para frente, então o primeiro número que você vê é 134.39 antes de tocar em qualquer coisa, e isso é 1.03^10 = 1.3439, não um espaço reservado.

Um século na mesma taxa: 1.03^100 = 19.2186, o número de quase vinte vezes que o próprio texto de referência da ferramenta cita, então uma cesta que custa 100 hoje exigiria cerca de 1,922. Leia o mesmo fator ao contrário e você tem a outra metade dele: 100 ÷ 19.2186 = 5.20, então 100 do dinheiro de hoje compram o que 5.20 compravam no começo. Esse par é o que torna horizontes longos legíveis, e é por isso que segurar dinheiro contra uma meta de décadas perde por aritmética, não por azar.

Uma conta recorrente: 12,000 por ano a 3% por 20 anos. 1.03^20 = 1.8061, então 12,000 × 1.8061 = 21,673. A alta é 9,673, e 9,673 ÷ 12,000 = 0.8061, ou seja, a linha cresceu 80.6% no total, que é o fator menos 1 como deveria ser. O instinto aditivo diz que vinte anos a 3% é uma alta de 60%, então a distância passa de vinte pontos percentuais, e é a diferença entre orçar 19,200 ou 21,673 para a mesma renovação.

Por fim, o tempo de duplicação, porque é o teste de sanidade mais rápido que existe: 72 ÷ 3 = 24 anos, e 1.03^24 = 2.0328 fica pouco além de uma duplicação verdadeira enquanto 1.03^23 = 1.9736 fica pouco aquém, sendo a resposta exata 23.45 anos. A regra se mantém na faixa que uma pessoa digitaria: a 5%, 72 ÷ 5 = 14.4 e 1.05^14 = 1.9799. Use-a como freio na ferramenta. Se um resultado de dez anos chega perto de 2, a taxa que você digitou é muito mais alta do que você pensa; se um resultado de trinta anos fica abaixo de 2, a taxa provavelmente está em branco ou perto de zero.

Por que o horizonte pesa mais que a taxa

Como os anos ficam num expoente e a taxa fica na base, as duas entradas não são igualmente perigosas de errar, e qual delas importa depende do prazo. Pegue um erro de um ponto na taxa em dez anos: a 3% o fator é 1.3439, a 4% é 1.4802, então a segunda resposta é 10.1% maior, o que para a maioria dos propósitos é uma discordância de arredondamento. Estique esse mesmo ponto por quarenta anos: 1.03^40 = 3.2620 contra 1.04^40 = 4.8010, e a segunda resposta é 47.2% maior. Nada no erro mudou; o horizonte o multiplicou.

Os dois botões também competem entre si. Três por cento por trinta anos dá 2.4273 e 5% por trinta anos dá 4.3219, então nesse prazo a taxa é quase toda a história; ainda assim 2.5% por quarenta anos dá 2.6851, que supera 3% por trinta apesar da taxa menor, porque dez anos extras pesaram mais que meio ponto percentual. Daí a regra prática: de um a três anos escolha qualquer taxa razoável e pare de se preocupar, em dez a taxa merece uma fonte, e em trinta a taxa é a resposta, sendo a calculadora a parte menos importante do exercício.

Como a calculadora funciona, campo por campo

São três campos numéricos e um controle de direção com duas opções: um valor, uma taxa anual em percentual, um número de anos, e a escolha entre a leitura passada e a futura. Os padrões são 100, 3 e 10 com o sentido para frente selecionado. O bloco de resultado tem duas linhas, um número grande e uma frase que o reformula, e atualiza enquanto você digita, então não existe botão Calcular. O único botão é Redefinir, que restaura 100, 3, 10 e o sentido para frente. Não há predefinições, cenários salvos, link de compartilhamento nem exportação, nada do que você digita é escrito em armazenamento, e recarregar te devolve aos padrões.

Dois detalhes de renderização importam antes de você colar um número em qualquer lugar. A saída é em dólares americanos em toda versão de idioma da página, sem nenhum controle de moeda em lugar algum; o texto ao redor é traduzido, a moeda não. E a versão em inglês formata o número como cifrão seguido de duas casas decimais sem separador de milhares nenhum, então um bilhão sai como $1000000000.00.

O que falta de propósito: nenhum gráfico, nenhuma tabela, nenhuma quebra ano a ano, nenhum detalhamento por componente, nenhuma comparação de dois cenários, nenhuma mensagem de erro. A ferramenta é uma potenciação e a saída dela, e tratá-la como mais que isso é onde as expectativas descarrilam.

Modos de falha que vale conhecer antes de confiar num resultado

Nada a seguir é falha da matemática. A potenciação está correta para quaisquer três números que a alcancem, e é exatamente esse o problema: a ferramenta não distingue uma entrada deliberada de um erro, e não te diz qual dos dois você deu.

Taxa em branco é taxa zero

Esvazie o campo de taxa e 100 por dez anos devolve 100.00. Conteúdo não numérico no campo de valor ou de taxa se comporta do mesmo jeito, virando zero em vez de produzir um aviso. Uma contagem de anos em branco também vira zero, e como qualquer fator elevado a zero é 1, a saída de novo iguala o valor que você digitou.

Essa é a falha silenciosa mais consequente da página, porque uma resposta idêntica à entrada parece uma constatação, não uma caixa vazia. Se o resultado iguala o valor, confira a taxa e os anos antes de concluir qualquer coisa.

O campo rotulado mínimo zero aceita menos

As entradas trazem atributos de faixa e passo que o cálculo nunca impõe: nenhuma validação roda, e um único valor é limitado. Uma taxa de -3 é usada como dada, então o sentido para frente produz uma curva de deflação, com 100 virando 73.74 em dez anos. Essa aritmética é sólida, e se você está modelando preços em queda é o jeito correto de fazê-lo aqui. O que importa é que o rótulo não pode ser invocado para pegar um erro de sinal, e nada na tela separa uma deflação intencional de um menos acidental.

Um valor negativo também passa e devolve um resultado negativo, sem sentido como nível de preços mas impresso como se fosse um. Valores extremos se comportam do mesmo jeito: o campo de taxa é rotulado com máximo de 100 e aceita 250 sem reclamar, porque só o campo de anos é limitado em código, e apenas por baixo.

Anos fracionários, e um limite que funciona só para um lado

Anos é lido como decimal e usado diretamente como expoente, então 10.5 é aceito e 100 a 3% devolve 136.39. Essa é uma maneira legítima de modelar meio ano, e também uma maneira de entrar numa duração que você não pretendia, já que o campo não é restrito a números inteiros apesar do atributo de passo. Não existe calendário nenhum na ferramenta, então um intervalo exato entre duas datas tem que ser convertido em ano fracionário em outro lugar.

A única trava da página corre na direção oposta: uma contagem de anos negativa é trocada silenciosamente por zero, então um erro de digitação de -10 devolve o valor inalterado em vez de um número pequeno. Duas entradas, dois tratamentos do sinal de menos, nenhuma mensagem para nenhum dos dois.

Entradas absurdas, e a ausência de mensagem de erro

Como nada é limitado, um valor com o ponto decimal no lugar errado é simplesmente um número grande. Empurre longe o suficiente e a multiplicação excede o maior valor que um navegador representa: 100 a 100% por 100 anos é da ordem de 1.27 × 10^32, e um valor suficientemente maior estoura, e nesse ponto a página em inglês imprime o texto literal $Infinity. Nenhuma mensagem de erro aparece em lugar algum para dizer que você deixou a aritmética para trás.

Então a regra para ler esta ferramenta é que ela nunca é a fonte de um sinal vermelho; você é. A regra dos 72 é a checagem mais rápida, e também o formato do número: um resultado enorme em poucos anos, ou um resultado igual à sua entrada, significa que o erro está no que você digitou.

Quando esta é a ferramenta errada

A ferramenta responde a uma pergunta com exatidão: escalar um valor por uma taxa constante ao longo de uma duração. Várias perguntas comuns se parecem com essa e não são, e para essas o conselho honesto é sair da página e usar algo feito para o trabalho.

A primeira é a busca com que a maioria chega. Converter os dólares de um ano de calendário específico nos de outro exige um índice de preços real nas duas datas, porque movimentos reais num trecho dado nunca foram constantes. Esta calculadora não tem campo de ano, série de índice nem taxas históricas, então o melhor que faz é aplicar uma média que você fornece, e uma média não vai bater com um número de índice num documento que precisa bater com um.

• Dólares ano a ano: use a tabela de preços ao consumidor publicada pelo órgão de estatística do seu país, ou a ferramenta de poder de compra do próprio órgão, para que as duas datas venham de uma série registrada, não do seu julgamento.
• Comparar dois países: não existe seletor de país ou de índice aqui, e a saída é só em dólares. Você precisa do índice publicado de cada país e da média anual dele, e então de duas rodadas separadas da mesma exponencial.
• Dividir uma alta de preços em componentes como alimentação, energia ou habitação: uma taxa para uma cesta é tudo que o modelo contém, e os pesos dos componentes vêm do detalhamento publicado pela agência de índices.
• Projetar uma meta de aposentadoria, pensão ou trajetória salarial como entregável: funciona como rascunho de uma multiplicação, mas não há ajuste de renda, imposto ou salário, nem saída real versus nominal. A página explica as taxas nominal e real em prosa e não calcula nenhuma das duas.
• Qualquer coisa que exija um cronograma: cláusulas de indexação contratual, reajustes de aluguel e trajetórias de pagamento pedem um valor por período, que esta ferramenta nunca produz. Uma planilha com uma linha por ano é o instrumento certo.

Um método repetível, do começo ao fim

Isto é o que transforma uma fórmula mais uma caixa de entrada sem validação num número que você colocaria diante de alguém. A maior parte acontece antes de a calculadora ser usada.

• Nomeie as duas datas e o valor, depois converta as datas numa única duração em anos, já que é a duração, não a data, que o expoente precisa.
• Escolha a taxa de uma fonte que você consiga dizer numa frase: seus próprios registros para um item só, um índice publicado com média geométrica para um bem geral, uma meta declarada para um esboço para frente.
• Decida de que lado o valor fica. Dinheiro expresso em termos de hoje divide pelo fator para virar dinheiro do período anterior; dinheiro do período anterior multiplica pelo fator para virar o equivalente de hoje. É o erro mais comum, e nenhuma parte da ferramenta vai notar.
• Ancore o resultado antes de confiar nele: divida 72 pela taxa para obter o tempo de duplicação, depois pergunte se o seu horizonte é uma fração dele ou vários múltiplos.
• Rode as duas taxas vizinhas que você estaria disposto a defender, e se a conclusão vira entre elas, reporte uma faixa. Depois escreva a taxa, os anos e a fonte ao lado do resultado, porque a calculadora não guarda registro de nenhum deles.

Perguntas frequentes