Cómo calcular la inflación compuesta: dos fórmulas y una tasa que llevas tú

La respuesta corta

Para calcular la inflación compuesta, convierte la tasa anual en un factor de crecimiento y elévalo a una potencia. Hacia delante: importe futuro = importe presente × (1 + rate)^years. Hacia atrás: importe pasado = importe presente ÷ (1 + rate)^years. Con un 3% durante 10 años el factor es 1.03^10 = 1.3439, así que 100 se convierte en 134.39 hacia delante y en 74.41 hacia atrás. Esas dos líneas son el método, y son exactamente las dos líneas sobre las que está construida la herramienta.

La tasa siempre es tuya. Esta calculadora no incluye ningún índice de precios, ninguna serie histórica ni ninguna cifra de ningún tipo; no puede buscar, sugerir ni validar el número que escribes. Tampoco tiene un campo de año: la tercera entrada es un número de años, así que la herramienta escala un importe por una tasa a lo largo de una duración, nunca entre dos fechas de calendario. Si venías a por dólares de 1995 llevados a dinero de hoy sin elegir tú la tasa, esta no es esa herramienta, y la penúltima sección dice qué usar en su lugar.

• Hacia delante: amount × (1 + rate)^years. Con un 3% durante 10 años, 100 × 1.3439 = 134.39.
• Hacia atrás: amount ÷ (1 + rate)^years. Esos mismos diez años convierten los 100 de hoy en el equivalente a 74.41 de entonces.
• Componer no es sumar: un 3% anual durante diez años es una subida del 34.39%, no del 30%.
• El exponente domina. Duplicar los años eleva el factor al cuadrado, así que un error de un punto en la tasa es una trivia a tres años y algo material a cuarenta.

Qué significa compuesta aquí: un año, y luego diez

La inflación se compone porque el aumento de cada año se cobra sobre precios que ya han subido. Empieza con 100 al 3% y recórrelo: tras el año uno, 103.00; tras el año dos, 106.09, porque el aumento del segundo año es un 3% de 103.00, que son 3.09 en lugar de los 3.00 que sumaste en el año uno. El año tres da 109.27, y la suma de ese año es 3.18. Nada de la tasa cambió; la base creció, y el mismo porcentaje sobre una base mayor es más dinero.

Esa es toda la diferencia entre componer y sumar. Suma 3.00 cada año durante diez años y acabas en 130.00, que es el instinto con el que la mayoría llega a esta pregunta. La respuesta correcta es 100 × 1.03^10 = 134.39. El error es solo de 4.39 en un horizonte de diez años, y por eso el atajo sobrevive tanto tiempo estando mal.

Estira ambos métodos a un siglo y el atajo se derrumba. Sumar da 100 × (1 + 0.03 × 100) = 400. Componer da 100 × 1.03^100 = 1,921.86, porque 1.03^100 es unos 19.2, así que los precios terminan unas diecinueve veces más altos. Una regla lineal subestima la respuesta a cien años en un factor de unos cinco, y la brecha se ensancha cada año que sumas.

Una nota estructural: la herramienta eleva a una potencia una sola vez, sin ningún bucle año por año dentro, así que imprime el punto final y nada más. El recorrido de arriba es algo que haces tú cuando necesitas el camino y no el destino.

Las dos direcciones, y por qué hacia atrás no es una tasa negativa

La fórmula hacia atrás divide por el mismo factor por el que la fórmula hacia delante multiplica, lo cual no es lo mismo que aplicar una tasa negativa. Ejecuta ambas sobre 100 durante diez años. Dividir da 100 ÷ 1.03^10 = 74.41. Escribir una tasa de -3 e ir hacia delante da 100 × 0.97^10 = 73.74. Difieren en 0.67 sobre una base de 100, lo que parece una trivia hasta que reparas en que la brecha no es fija: se ensancha con la tasa y con el horizonte, porque las dos son funciones distintas de las mismas entradas.

La razón es que los porcentajes son asimétricos. Una subida del 34.39% la deshace una caída del 25.59%, no una caída del 34.39%, porque la caída se mide desde el nivel más alto. La versión de un año es fácil de comprobar: 1.03 × 0.97 = 0.9991, así que un alza del 3% seguida de una caída del 3% te deja un 0.09% por debajo del empate. Repítelo diez veces y 100 se convierte en 99.10. Multiplicar por (1 - rate) es siempre una reversión ligeramente demasiado pequeña de multiplicar por (1 + rate), y dividir por (1 + rate)^years es la correcta.

La segunda trampa es en qué lado está tu importe, y es la forma más común de sacar un número seguro pero equivocado de una herramienta que no te lleva la contraria. Si una cesta cuesta 100 en dinero de hoy y los precios subieron un 3% anual durante una década, dividir te dice que esa cesta costaba 74.41 al inicio de la década. Si en cambio ganaste 100 al inicio y quieres su poder adquisitivo ahora, esa es la dirección hacia delante y la respuesta es 134.39. Misma tasa, mismos diez años, mismo 100, preguntas distintas.

De dónde sale una tasa defendible

No hay una sola tasa de inflación para un país en un periodo, porque no hay una sola cesta de bienes. Cualquier respuesta es tan defendible como el número que elegiste, así que esta parte merece más tiempo que la aritmética. Tres fuentes cubren casi todos los casos, y las tres terminan en el mismo sitio: un porcentaje que escribes tú en el campo de la tasa.

Tus propios gastos, de tus propios registros

Para preguntas personales, tus propios precios ganan a cualquier promedio publicado. El alquiler, la compra, el seguro y el combustible se movieron cada uno a su propia tasa, y si lo que intentas pagar es uno de ellos, la cifra titular es la entrada equivocada. Averigua cuánto pagaste en dos fechas por algo comparable, divide el total posterior entre el anterior, y convierte esa razón en una tasa anual tomando la raíz: tasa anual = (end ÷ start) elevado a (1 ÷ years), menos 1.

Desarróllalo. El alquiler pasó de 1,000 al mes a 1,400 en cinco años, así que la razón es 1.4 y la tasa anual es 1.4 elevado a una quinta parte, que es 1.0696, unos 6.96% al año. Compruébalo llevando esa tasa hacia delante: 100 al 6.96% durante cinco años devuelve 139.99, un par de céntimos por debajo de los 140 que observaste solo porque la tasa se redondeó. Esa tasa, no el 3%, es el número a escribir.

La herramienta no hará esa inversión por ti. Toma una tasa y produce un importe; ningún modo toma dos importes y devuelve la tasa entre ellos. O tomas la raíz a mano, o tratas el resultado en vivo como una búsqueda: escribe una tasa, mira moverse el número mientras lo editas, y ajusta hasta que la salida coincida con el importe que ya conoces.

Una cifra de índice publicado que llevas tú

Para cualquier cosa que tengas que defender ante otra persona, usa el índice de precios al consumidor que publica la oficina de estadística de tu país, ya que es el número contra el que otros te comprobarán. Lee el índice en dos fechas, toma la razón, y anualízala con la misma raíz. La página no enlaza ninguna serie así y no tiene campo para un valor de índice: lo lees en otro sitio y escribes el porcentaje.

Promedia a lo largo del intervalo geométricamente, nunca aritméticamente. Si las tasas anuales fueran 2%, 8% y 1%, el promedio simple es 3.667%, pero la tasa que reproduce el mismo total viene de 1.02 × 1.08 × 1.01 = 1.1126, cuya raíz cúbica es 1.0362, así que 3.62%. La diferencia existe porque el año del medio se cobró sobre una base que el primer año ya había elevado. Se compone, y citar una media aritmética como tasa media anual de inflación es algo que un revisor detectará.

Una convención de planificación, usada a propósito

Cuando la pregunta es hacia el futuro y no tienes base para una previsión, usa un objetivo declarado en lugar de una conjetura. La mayoría de las economías avanzadas publican un objetivo de estabilidad de precios cerca del 2% anual, defendible porque es un ancla al que se comprometen las instituciones, no una predicción que inventaste. El propio texto de referencia de la calculadora ofrece el 3% anual como regla general común de mediano plazo para EE. UU., aunque señala que las tasas reales varían: un valor por defecto razonable para un boceto de horizonte largo, siempre que puedas decir en voz alta que es una convención. Escribe la tasa y su fuente junto al resultado, ya que la calculadora no guarda nada.

Ejemplos resueltos que puedes comprobar a mano

La calculadora se abre con importe 100, tasa 3, años 10 y la dirección hacia delante, así que el primer número que ves es 134.39 antes de tocar nada, y eso es 1.03^10 = 1.3439 y no un marcador de posición.

Un siglo a la misma tasa: 1.03^100 = 19.2186, la cifra de diecinueve veces que cita el propio texto de referencia de la herramienta, así que una cesta que cuesta 100 hoy necesitaría unos 1,922. Lee el mismo factor hacia atrás y obtienes su otra mitad: 100 ÷ 19.2186 = 5.20, así que 100 de dinero de hoy compran lo que compraban 5.20 al inicio. Ese par es lo que hace legibles los horizontes largos, y es por lo que mantener efectivo frente a un objetivo de décadas pierde por aritmética y no por mala suerte.

Un gasto recurrente: 12,000 al año al 3% durante 20 años. 1.03^20 = 1.8061, así que 12,000 × 1.8061 = 21,673. La subida es de 9,673, y 9,673 ÷ 12,000 = 0.8061, lo que significa que la partida ha crecido un 80.6% en total, que es el factor menos 1 como debe ser. El instinto aditivo dice que veinte años al 3% son una subida del 60%, así que la brecha pasa de veinte puntos porcentuales, y es la diferencia entre presupuestar 19,200 y presupuestar 21,673 para la misma renovación.

Por último, el tiempo de duplicación, porque es la comprobación de sentido común más rápida disponible: 72 ÷ 3 = 24 años, y 1.03^24 = 2.0328 queda justo por encima de una duplicación real mientras que 1.03^23 = 1.9736 queda justo por debajo, siendo la respuesta exacta 23.45 años. La regla se mantiene en todo el rango que uno escribiría: al 5%, 72 ÷ 5 = 14.4 y 1.05^14 = 1.9799. Úsalo como freno de la herramienta. Si un resultado a diez años está cerca de 2, la tasa que escribiste es mucho más alta de lo que crees; si un resultado a treinta años está por debajo de 2, la tasa está probablemente en blanco o cerca de cero.

Por qué el horizonte importa más que la tasa

Como los años van en un exponente y la tasa en la base, las dos entradas no son igual de peligrosas de equivocar, y cuál importa depende del plazo. Toma un error de un punto en la tasa durante diez años: al 3% el factor es 1.3439, al 4% es 1.4802, así que la segunda respuesta es un 10.1% mayor, lo que para la mayoría de propósitos es un desacuerdo de redondeo. Estira ese mismo punto a cuarenta años: 1.03^40 = 3.2620 frente a 1.04^40 = 4.8010, y la segunda respuesta es un 47.2% mayor. Nada del error cambió; el horizonte lo multiplicó.

Los dos mandos también intercambian entre sí. Tres por ciento durante treinta años da 2.4273 y un 5% durante treinta años da 4.3219, así que en ese plazo la tasa es casi toda la historia; pero un 2.5% durante cuarenta años da 2.6851, lo que supera al 3% durante treinta pese a la tasa más baja, porque diez años extra pesaron más que medio punto porcentual. De ahí la regla práctica: a uno o tres años elige cualquier tasa razonable y deja de preocuparte, a diez la tasa merece una fuente, y a treinta la tasa es la respuesta, siendo la calculadora la parte menos importante del ejercicio.

Cómo funciona la calculadora, campo a campo

Hay tres campos numéricos y un control de dirección de dos opciones: el «Monto», la «Tasa de inflación (% anual)», los «Años», y la elección entre «Poder adquisitivo en el pasado» y «Poder adquisitivo en el futuro». Los valores por defecto son 100, 3 y 10 con la dirección hacia delante seleccionada. El bloque de resultado son dos líneas, un número grande y una frase que lo repite, y se actualiza mientras escribes, así que no hay botón Calcular. El único botón es «Restablecer», que devuelve 100, 3, 10 y la dirección hacia delante. No hay valores predefinidos, ni escenarios guardados, ni enlace para compartir, ni exportación, nada de lo que escribes se guarda en el almacenamiento, y recargar te devuelve a los valores por defecto.

Dos detalles de renderizado importan antes de pegar una cifra en ningún sitio. La salida está en dólares estadounidenses en todas las versiones del idioma de la página, sin ningún control de moneda en ninguna parte; la prosa alrededor está traducida, la moneda no. Y la página en inglés formatea el número como un signo $ seguido de dos decimales sin separadores de miles en absoluto, así que un billón sale como $1000000000.00.

Lo que falta a propósito: sin gráfico, sin tabla, sin desglose año por año, sin detalle de componentes, sin comparación de dos escenarios, sin mensajes de error. La herramienta es una potenciación y su salida, y tratarla como más que eso es donde las expectativas se tuercen.

Modos de fallo que conviene saber antes de confiar en un resultado

Nada de lo siguiente es un defecto de la matemática. La potenciación es correcta para las tres cifras que le lleguen, y ese es precisamente el problema: la herramienta no puede distinguir una entrada deliberada de un error, ni decirte cuál le diste.

Una tasa en blanco es una tasa cero

Vacía el campo de la tasa y 100 durante diez años devuelve 100.00. El contenido no numérico en el campo del monto o de la tasa se comporta igual, convirtiéndose en cero en lugar de producir un aviso. Un número de años en blanco también se vuelve cero, y como cualquier factor elevado a la potencia cero es 1, la salida vuelve a igualar el importe que escribiste.

Este es el fallo silencioso más trascendental de la página, porque una respuesta idéntica a la entrada se lee como un hallazgo y no como una caja vacía. Si el resultado iguala al importe, revisa la tasa y los años antes de concluir nada.

El campo etiquetado con mínimo cero acepta menos

Las entradas llevan atributos de rango y de paso, y el cálculo nunca los hace cumplir: no corre ninguna validación, y solo un valor se limita. Una tasa de -3 se usa tal cual, así que la dirección hacia delante produce una curva de deflación, con 100 convirtiéndose en 73.74 durante diez años. Esa aritmética es sólida, y si estás modelando precios que caen es la forma correcta de hacerlo aquí. Lo que importa es que no se puede confiar en la etiqueta para atrapar un error de signo, y nada en pantalla separa una deflación intencionada de un signo menos accidental.

Un monto negativo también pasa y devuelve un resultado negativo, carente de sentido como nivel de precios pero impreso como si lo fuera. Los valores extremos se comportan igual: el campo de la tasa está etiquetado con un máximo de 100 y acepta 250 sin quejarse, porque solo el campo de los años está limitado en el código, y solo desde abajo.

Años fraccionados, y un límite que funciona en un solo sentido

Los años se leen como un decimal y se usan directamente como el exponente, así que 10.5 se acepta y 100 al 3% devuelve 136.39. Esa es una forma legítima de modelar medio año, y también una forma de introducir una duración que no querías, ya que el campo no se restringe a números enteros pese a su atributo de paso. No hay ningún calendario en la herramienta, así que un intervalo exacto entre dos fechas hay que convertirlo a un año fraccionado en otro sitio.

La única protección de la página corre en el otro sentido: un número de años negativo se reemplaza en silencio por cero, así que un error de escritura de -10 devuelve el importe sin cambios en lugar de un número pequeño. Dos entradas, dos tratamientos del signo menos, ningún mensaje para ninguna.

Entradas absurdas, y la ausencia de un mensaje de error

Como nada está limitado, un monto con un punto decimal en el sitio equivocado es simplemente un número grande. Empújalo lo suficiente y la multiplicación excede el mayor valor que un navegador puede representar: 100 al 100% durante 100 años es del orden de 1.27 × 10^32, y un monto suficientemente mayor se desborda, momento en que la página en inglés imprime el texto literal $Infinity. No aparece ningún mensaje de error en ninguna parte que diga que has dejado la aritmética atrás.

Así que la regla para leer esta herramienta es que nunca es ella la fuente de una señal de alerta; lo eres tú. La regla del 72 es la comprobación más rápida, y también lo es la forma del número: un resultado enorme en pocos años, o un resultado igual a tu entrada, significa que el error está en lo que escribiste.

Cuándo es el instrumento equivocado

La herramienta responde una pregunta con precisión: escalar un importe por una tasa plana a lo largo de una duración. Varias preguntas comunes se parecen a esa y no lo son, y para ellas el consejo honesto es dejar la página y usar algo hecho para el trabajo.

La primera es la búsqueda con la que llega la mayoría. Convertir los dólares de un año de calendario concreto a los de otro necesita un índice de precios real en ambas fechas, porque los movimientos reales de un tramo dado nunca fueron planos. Esta calculadora no tiene campo de año, ni serie de índice, ni tasas históricas, así que lo máximo que puede hacer es aplicar un promedio que tú aportes, y un promedio no coincidirá con una cifra basada en un índice en un documento que tenga que coincidir con una.

• Dólares de año a año: usa la tabla de precios al consumidor que publica la oficina de estadística de tu país, o la herramienta de poder adquisitivo de esa misma oficina, para que ambas fechas salgan de una serie registrada y no de tu criterio.
• Comparar dos países: aquí no existe ningún selector de país o índice, y la salida es solo en dólares. Necesitas el índice publicado de cada país y su propia tasa media, y luego dos ejecuciones separadas de la misma potenciación.
• Desglosar una subida de precios en componentes como alimentos, energía o vivienda: una tasa para una cesta es todo lo que contiene el modelo, y los pesos de los componentes salen del desglose publicado por una agencia de índices.
• Proyectar un objetivo de jubilación, una pensión o una trayectoria salarial como entregable: funciona como bloc de notas para una multiplicación, pero no hay ajuste de ingresos, impuestos ni salarios, ni salida real frente a nominal. La página explica las tasas nominal y real en prosa y no calcula ninguna.
• Todo lo que necesite un calendario: cláusulas de indexación contractual, escalones de arrendamiento y trayectorias de pagos quieren un valor por periodo, que esta herramienta nunca produce. Una hoja de cálculo con una fila por año es el instrumento correcto.

Un método repetible, de principio a fin

Esto es lo que convierte una fórmula más una caja de entrada sin validar en un número que pondrías delante de alguien. La mayor parte ocurre antes de usar la calculadora.

• Nombra las dos fechas y el importe, luego convierte las fechas en una sola duración en años, ya que lo que el exponente necesita es una duración y no una fecha.
• Elige una tasa de una fuente que puedas decir en una frase: tus propios registros para un solo artículo, un índice publicado promediado geométricamente para uno general, un objetivo declarado para un boceto hacia el futuro.
• Decide en qué lado está el importe. El dinero expresado en términos de hoy se divide por el factor para volverse dinero del periodo anterior; el dinero del periodo anterior se multiplica por el factor para volverse el equivalente de hoy. Este es el error más común y ninguna parte de la herramienta lo notará.
• Ancla el resultado antes de confiar en él: divide 72 entre la tasa para obtener el tiempo de duplicación, y luego pregunta si tu horizonte es una fracción de él o varios múltiplos.
• Ejecuta las dos tasas vecinas que habrías estado dispuesto a defender, y si la conclusión cambia entre ellas, informa de un intervalo. Después escribe la tasa, los años y la fuente junto al resultado, porque la calculadora no guarda registro de ninguno.

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