Cara Menghitung Inflasi Majemuk: Dua Rumus dan Tingkat yang Anda Bawa Sendiri

Jawaban singkatnya

Untuk menghitung inflasi majemuk, ubah tingkat tahunan menjadi faktor pertumbuhan lalu pangkatkan. Ke depan: jumlah mendatang = jumlah sekarang × (1 + rate)^years. Ke belakang: jumlah masa lalu = jumlah sekarang ÷ (1 + rate)^years. Pada 3% selama 10 tahun faktornya 1.03^10 = 1.3439, jadi 100 menjadi 134.39 ke depan dan 74.41 ke belakang. Dua baris itu adalah metodenya, dan persis dua baris itulah dasar alat ini dibangun.

Tingkatnya selalu milik Anda. Kalkulator ini tidak membawa indeks harga, tidak ada rangkaian historis, dan tidak ada angka dalam bentuk apa pun; ia tidak bisa mencari, mengusulkan, atau memvalidasi angka yang Anda ketik. Ia juga tidak punya kolom tahun: input ketiga adalah hitungan tahun, jadi alat ini menskalakan sebuah jumlah dengan sebuah tingkat sepanjang sebuah jangka, bukan antara dua tanggal kalender. Jika Anda datang ingin dolar 1995 dalam uang hari ini tanpa memilih tingkat sendiri, ini bukan alat itu, dan bagian kedua dari terakhir menjelaskan apa yang dipakai sebaliknya.

• Ke depan: amount × (1 + rate)^years. Pada 3% selama 10 tahun, 100 × 1.3439 = 134.39.
• Ke belakang: amount ÷ (1 + rate)^years. Sepuluh tahun yang sama mengubah 100 hari ini menjadi setara 74.41 di masa itu.
• Majemuk bukan menambah: 3% per tahun selama sepuluh tahun adalah kenaikan 34.39%, dan bukan 30%.
• Pangkatnya yang dominan. Menggandakan tahun mengkuadratkan faktornya, jadi selisih satu poin pada tingkat cuma remeh dalam tiga tahun dan jadi berarti dalam empat puluh.

Arti majemuk di sini: satu tahun, lalu sepuluh

Inflasi menjadi majemuk karena kenaikan tiap tahun dibebankan pada harga yang sudah terlanjur naik. Mulai dari 100 pada 3% dan telusuri: setelah tahun pertama, 103.00; setelah tahun kedua, 106.09, karena kenaikan tahun kedua adalah 3% dari 103.00, yaitu 3.09 dan bukan 3.00 yang Anda tambahkan di tahun pertama. Tahun ketiga memberi 109.27, dan tambahan tahun itu 3.18. Tidak ada yang berubah pada tingkatnya; basisnya yang tumbuh, dan persentase yang sama dari basis yang lebih besar adalah uang yang lebih banyak.

Itulah seluruh beda antara memajemukan dan menambahkan. Tambahkan 3.00 tiap tahun selama sepuluh tahun dan Anda mendarat di 130.00, dan bukan itu jawabannya; inilah naluri yang dibawa kebanyakan orang ke pertanyaan ini. Jawaban yang benar adalah 100 × 1.03^10 = 134.39. Kesalahannya baru 4.39 pada horizon sepuluh tahun, itulah sebabnya jalan pintas ini bertahan lama dalam keadaan salah.

Tarik keduanya ke satu abad dan jalan pintas itu ambruk. Penjumlahan memberi 100 × (1 + 0.03 × 100) = 400. Pemajemukan memberi 100 × 1.03^100 = 1,921.86, karena 1.03^100 sekitar 19.2, jadi harga berakhir kira-kira sembilan belas kali lebih tinggi. Aturan linear memandangkan jawaban seratus tahun dengan faktor sekitar lima, dan celahnya melebar tiap tahun yang Anda tambah.

Satu catatan struktur: alat ini memangkatkan sekali, tanpa loop tahun per tahun di dalamnya, jadi ia mencetak titik akhir dan tidak yang lain. Penelusuran di atas adalah sesuatu yang Anda kerjakan sendiri saat membutuhkan jalurnya dan bukan sekadar tujuannya.

Dua arah, dan kenapa ke belakang bukan tingkat negatif

Rumus ke belakang membagi dengan faktor yang sama yang dipakai mengalikan oleh rumus ke depan, dan itu bukan hal yang sama dengan menerapkan tingkat negatif. Jalankan keduanya pada 100 selama sepuluh tahun. Membagi memberi 100 ÷ 1.03^10 = 74.41. Mengetik tingkat -3 lalu melangkah ke depan memberi 100 × 0.97^10 = 73.74. Bedanya 0.67 pada basis 100, yang tampak remeh sampai Anda sadar celahnya tidak tetap: ia melebar mengikuti tingkat maupun horizon, karena keduanya fungsi berbeda dari input yang sama.

Alasannya, persentase itu tidak simetris. Kenaikan 34.39% dibatalkan oleh penurunan 25.59%, dan bukan oleh penurunan 34.39%, karena penurunan diukur dari level yang lebih tinggi. Versi satu tahun mudah diperiksa: 1.03 × 0.97 = 0.9991, jadi kenaikan 3% yang diikuti penurunan 3% membuat Anda kurang 0.09% dari impas. Ulangi sepuluh kali dan 100 menjadi 99.10. Mengalikan dengan (1 - rate) selalu pembalikan yang sedikit terlalu kecil dari mengalikan dengan (1 + rate), dan membagi dengan (1 + rate)^years yang benar.

Jebakan kedua soal di sisi mana jumlah Anda duduk, dan ini cara paling umum menghasilkan angka salah yang percaya diri dari alat yang tidak bisa berdebat dengan Anda. Jika sekeranjang barang berharga 100 dengan uang hari ini dan harga naik 3% per tahun selama satu dekade, pembagian memberi tahu keranjang itu berharga 74.41 di awal dekade. Jika sebaliknya Anda mendapat 100 di awal dan ingin daya belinya sekarang, itu arah ke depan dan jawabannya 134.39. Tingkat sama, sepuluh tahun sama, 100 yang sama, pertanyaannya beda.

Dari mana tingkat yang bisa dipertanggungjawabkan berasal

Tidak ada satu tingkat inflasi tunggal untuk sebuah negara dalam satu periode, karena tidak ada satu keranjang barang tunggal. Jawaban apa pun hanya sekuat angka yang Anda pilih, jadi bagian ini layak menyita lebih banyak waktu daripada aritmetiknya. Tiga sumber mencakup hampir semua kasus, dan ketiganya berakhir di tempat yang sama: persentase yang Anda ketik sendiri ke kolom tingkat.

Pengeluaran Anda sendiri, dari catatan Anda sendiri

Untuk pertanyaan pribadi, harga Anda sendiri mengalahkan rata-rata publik mana pun. Sewa, bahan makanan, asuransi, dan bahan bakar bergerak dengan tingkatnya masing-masing, dan jika yang ingin Anda mampu adalah salah satunya, angka tajuk adalah input yang salah. Cari apa yang Anda bayar pada dua tanggal untuk sesuatu yang sebanding, bagi total yang belakangan dengan yang sebelumnya, lalu ubah rasio itu menjadi tingkat tahunan dengan menarik akarnya: tingkat tahunan = (akhir ÷ awal) dipangkatkan (1 ÷ tahun), dikurangi 1.

Kerjakan. Sewa naik dari 1,000 per bulan menjadi 1,400 selama lima tahun, jadi rasionya 1.4 dan tingkat tahunannya adalah 1.4 pangkat seperlima, yaitu 1.0696, sekitar 6.96% per tahun. Periksa dengan menjalankan tingkat itu ke depan: 100 pada 6.96% selama lima tahun mengembalikan 139.99, beberapa sen di bawah 140 yang Anda amati hanya karena tingkatnya dibulatkan. Tingkat itulah, dan bukan 3%, angka yang harus diketik.

Alat ini tidak mengerjakan pembalikan itu untuk Anda. Ia menerima tingkat dan menghasilkan jumlah; tidak ada mode yang menerima dua jumlah lalu mengembalikan tingkat di antaranya. Ambil akarnya dengan tangan, atau perlakukan hasil langsung sebagai pencarian: ketik sebuah tingkat, lihat angkanya bergerak saat Anda menyunting, dan sesuaikan sampai keluarannya sama dengan jumlah yang sudah Anda tahu.

Angka indeks publik yang Anda bawa sendiri

Untuk apa pun yang harus Anda pertanggungjawabkan ke orang lain, pakai indeks harga konsumen (CPI) yang diterbitkan badan statistik negara Anda, karena itulah angka yang akan dipakai orang lain memeriksa Anda. Baca indeks pada dua tanggal, ambil rasionya, annualkan dengan akar yang sama. Halaman ini tidak menautkan rangkaian seperti itu dan tidak punya kolom untuk nilai indeks: Anda membacanya di tempat lain lalu mengetik persentasenya.

Rata-ratakan sepanjang interval secara geometrik, dan bukan secara aritmetik. Jika tingkat tahunannya 2%, 8%, dan 1%, rata-rata biasa adalah 3.667%, dan bukan angka yang mereproduksi total yang sama. Tingkat yang menghasilkan total itu datang dari 1.02 × 1.08 × 1.01 = 1.1126, akar kubiknya 1.0362, jadi 3.62%. Bedanya ada karena tahun tengah dibebankan pada basis yang sudah dinaikkan tahun pertama. Efeknya majemuk, dan mengutip rata-rata aritmetik sebagai rata-rata tingkat inflasi tahunan adalah hal yang akan ditangkap penelaah.

Konvensi perencanaan, dipakai dengan sengaja

Saat pertanyaannya menatap ke depan dan Anda tidak punya dasar untuk meramal, pakai sasaran yang dinyatakan dan bukan tebakan. Sebagian besar ekonomi maju memublikasikan sasaran stabilitas harga di sekitar 2% per tahun, dan itu bisa dipertanggungjawabkan karena ia jangkar yang dipromiskan institusi, bukan ramalan yang Anda karang sendiri. Teks rujukan kalkulator sendiri menawarkan 3% per tahun sebagai aturan umum jangka menengah untuk Amerika Serikat sambil mencatat bahwa tingkat riil bervariasi: bawaan yang masuk akal untuk sketsa horizon panjang, asalkan Anda bisa menyebut dengan lantang bahwa itu konvensi. Tulis tingkat dan sumbernya di samping hasil, karena kalkulator tidak menyimpan apa pun.

Contoh pengerjaan yang bisa Anda periksa dengan tangan

Kalkulator terbuka pada jumlah 100, tingkat 3, tahun 10, dan arah ke depan, jadi angka pertama yang Anda lihat adalah 134.39 sebelum Anda menyentuh apa pun, dan itu 1.03^10 = 1.3439, bukan placeholder.

Satu abad dengan tingkat yang sama: 1.03^100 = 19.2186, angka sembilan belas kali yang dikutip teks rujukan alat itu sendiri, jadi keranjang yang berharga 100 hari ini butuh sekitar 1,922. Baca faktor yang sama secara terbalik dan Anda mendapat separuh lainnya: 100 ÷ 19.2186 = 5.20, jadi 100 uang hari ini membeli apa yang 5.20 beli di awal. Pasangan itulah yang membuat horizon panjang terbaca, dan itulah sebabnya memegang kas melawan tujuan puluhan tahun kalah karena aritmetika, dan bukan karena sial.

Tagihan berulang: 12,000 per tahun pada 3% selama 20 tahun. 1.03^20 = 1.8061, jadi 12,000 × 1.8061 = 21,673. Kenaikannya 9,673, dan 9,673 ÷ 12,000 = 0.8061, artinya pos itu tumbuh 80.6% seluruhnya, persis faktor dikurangi 1 seperti seharusnya. Naluri penjumlahan berkata dua puluh tahun pada 3% adalah kenaikan 60%, dan bukan hitungan majemuk yang sebenarnya, jadi celahnya lewat dua puluh poin persentase, dan itulah beda antara menganggarkan 19,200 dan menganggarkan 21,673 untuk perpanjangan yang sama.

Terakhir, waktu penggandaan, karena ini pemeriksa kewarasan tercepat yang tersedia: 72 ÷ 3 = 24 tahun, dan 1.03^24 = 2.0328 duduk tepat lewat penggandaan sejati sementara 1.03^23 = 1.9736 duduk tepat kurang, jawaban persisnya 23.45 tahun. Aturan ini bertahan di rentang yang akan diketik orang: pada 5%, 72 ÷ 5 = 14.4 dan 1.05^14 = 1.9799. Pakai itu sebagai rem pada alat. Jika hasil sepuluh tahun mendekati 2, tingkat yang Anda ketik jauh lebih tinggi dari sangkaan; jika hasil tiga puluh tahun di bawah 2, tingkatnya mungkin kosong atau mendekati nol.

Kenapa horizon lebih penting daripada tingkat

Karena tahun duduk di pangkat dan tingkat duduk di basis, kedua input sama-sama berbahaya saat salah, dan mana yang lebih menentukan bergantung pada jangka. Ambil selisih satu poin pada tingkat selama sepuluh tahun: pada 3% faktornya 1.3439, pada 4% faktornya 1.4802, jadi jawaban kedua 10.1% lebih besar, yang untuk kebanyakan keperluan cuma selisih pembulatan. Tarik poin yang sama ke empat puluh tahun: 1.03^40 = 3.2620 melawan 1.04^40 = 4.8010, dan jawaban kedua 47.2% lebih besar. Tidak ada yang berubah pada kesalahannya; horizon yang melipatgandakannya.

Kedua dial juga saling bertukar tempat. Tiga persen selama tiga puluh tahun memberi 2.4273 dan 5% selama tiga puluh tahun memberi 4.3219, jadi pada jangka itu tingkat hampir menjadi seluruh cerita; namun 2.5% selama empat puluh tahun memberi 2.6851, yang mengalahkan 3% selama tiga puluh meskipun tingkatnya lebih rendah, karena sepuluh tahun tambahan mengalahkan setengah poin persentase. Karena itu aturan praktisnya: dalam satu sampai tiga tahun pilih tingkat masuk akal apa pun dan berhenti cemas, dalam sepuluh tahun tingkat itu layak punya sumber, dan dalam tiga puluh tahun tingkat itulah jawabannya, dengan kalkulator sebagai bagian paling tidak penting dari latihannya.

Cara kalkulator bekerja, kolom demi kolom

Ada tiga kolom angka dan satu pengendali arah dua pilihan: Jumlah, Tingkat inflasi (% per tahun) sebagai persentase, Tahun sebagai hitungan tahun, lalu Arah dengan pilihan Daya beli di masa lalu atau Daya beli di masa depan. Bawaannya 100, 3, dan 10 dengan arah masa depan terpilih. Blok hasilnya dua baris, satu angka besar dan satu kalimat yang mengulang angka itu, dan ia berubah saat Anda mengetik, jadi tidak ada tombol Calculate. Satu-satunya tombol adalah Atur ulang, yang mengembalikan 100, 3, 10, dan arah ke depan. Tidak ada preset, tidak ada skenario tersimpan, tidak ada tautan berbagi, tidak ada ekspor, apa pun yang Anda ketik tidak ditulis ke penyimpanan, dan memuat ulang mengembalikan Anda ke bawaan.

Dua detail tampilan penting sebelum Anda menempelkan angka ke mana pun. Keluarannya dalam dolar Amerika di setiap versi bahasa halaman ini, dan tidak ada pengatur mata uang di mana pun; teks di sekitarnya diterjemahkan, mata uangnya tidak. Dan halaman berbahasa Inggris memformat angka sebagai tanda dolar diikuti dua desimal tanpa pemisah ribuan sama sekali, sehingga satu miliar tercetak sebagai $1000000000.00.

Yang sengaja tidak ada: tidak ada grafik, tidak ada tabel, tidak ada uraian tahun per tahun, tidak ada rincian komponen, tidak ada perbandingan dua skenario, tidak ada pesan kesalahan. Alat ini satu perpangkatan dan keluarannya, dan memperlakukannya lebih dari itulah tempat harapan menjadi salah.

Mode kegagalan yang layak diketahui sebelum Anda percaya sebuah hasil

Tidak satu pun berikut ini adalah cacat pada matematikanya. Perpangkatannya benar untuk tiga angka apa pun yang sampai padanya, dan justru itulah masalahnya: alat ini tidak bisa membedakan input yang disengaja dari kekeliruan, dan tidak bisa memberi tahu yang mana yang Anda berikan.

Tingkat kosong adalah tingkat nol

Kosongkan kolom tingkat dan 100 selama sepuluh tahun mengembalikan 100.00. Konten non-angka di kolom jumlah atau tingkat berlaku sama, menjadi nol alih-alih memunculkan peringatan. Hitungan tahun yang kosong juga menjadi nol, dan karena faktor apa pun dipangkatkan nol hasilnya 1, keluarannya kembali sama dengan jumlah yang Anda ketik.

Ini kegagalan senyap paling berakibat di halaman ini, karena jawaban yang sama persis dengan input terbaca sebagai temuan dan bukan sebagai kolom kosong. Jika hasilnya sama dengan jumlah Anda, periksa tingkat dan tahun sebelum menyimpulkan apa pun.

Kolom berlabel minimum nol menerima kurang dari itu

Inputnya membawa atribut rentang dan langkah, dan perhitungannya tidak pernah menegakkannya: tidak ada validasi yang berjalan, dan hanya satu nilai yang dijepit. Tingkat -3 dipakai apa adanya, jadi arah ke depan menghasilkan kurva deflasi, dengan 100 menjadi 73.74 selama sepuluh tahun. Aritmetika itu sehat, dan jika Anda memodelkan harga yang turun, itulah cara yang benar di sini. Yang penting, labelnya tidak bisa diandalkan untuk menangkap salah tanda, dan tidak ada di layar yang memisahkan deflasi yang disengaja dari tanda minus yang kelepasan.

Jumlah negatif juga lolos dan mengembalikan hasil negatif, tidak bermakna sebagai tingkat harga tetapi tercetak seolah-olah begitu. Nilai ekstrem berlaku sama: kolom tingkat berlabel maksimum 100 dan menerima 250 tanpa protes, karena hanya kolom tahun yang dibatasi di kode, dan hanya dari bawah.

Tahun pecahan, dan jepitan yang bekerja satu arah saja

Tahun dibaca sebagai desimal dan dipakai langsung sebagai pangkat, jadi 10.5 diterima dan 100 pada 3% mengembalikan 136.39. Itu cara sah memodelkan setengah tahun, sekaligus cara memasukkan jangka yang tidak Anda niatkan, karena kolomnya tidak dibatasi ke bilangan bulat meskipun atribut langkahnya begitu. Tidak ada kalender di alat ini sama sekali, jadi rentang persis antara dua tanggal harus dikonversi menjadi tahun pecahan di tempat lain.

Satu penjaga di halaman berjalan ke arah sebaliknya: hitungan tahun negatif diam-diam diganti nol, jadi salah ketik -10 mengembalikan jumlah apa adanya alih-alih angka kecil. Dua input, dua perlakuan tanda minus, tanpa pesan untuk keduanya.

Input tidak masuk akal, dan tidak adanya pesan kesalahan

Karena tidak ada yang dibatasi, jumlah dengan titik desimal di tempat yang salah hanyalah angka besar. Dorong cukup jauh dan perkalian melewati nilai terbesar yang bisa diwakili peramban: 100 pada 100% selama 100 tahun berada di orde 1.27 × 10^32, dan jumlah yang cukup lebih besar akan meluber, saat itu halaman berbahasa Inggris mencetak teks harfiah $Infinity. Tidak ada pesan kesalahan di mana pun yang bilang Anda sudah meninggalkan aritmetika.

Jadi aturan membaca alat ini: ia bukan sumber tanda bahaya; Anda sumbernya. Aturan 72 adalah pemeriksaan tercepat, begitu pula bentuk angkanya: hasil raksasa dalam beberapa tahun, atau hasil yang sama dengan input Anda, artinya kesalahannya ada di yang Anda ketik.

Kapan ini instrumen yang salah

Alat ini menjawab satu pertanyaan dengan persis: skalakan sebuah jumlah dengan tingkat tetap sepanjang sebuah jangka. Beberapa pertanyaan umum tampak seperti pertanyaan itu dan bukan, dan untuk itu nasihat yang jujur adalah meninggalkan halaman dan memakai sesuatu yang dibangun untuk pekerjaannya.

Yang pertama adalah pencarian yang paling sering mengantar orang ke sini. Mengonversi dolar satu tahun kalender spesifik menjadi dolar tahun lain butuh indeks harga nyata di kedua tanggal, karena pergerakan sungguhan dalam rentang tertentu tidak pernah datar. Kalkulator ini tidak punya kolom tahun, tidak ada rangkaian indeks, dan tidak ada tingkat historis, jadi sebaik-baiknya ia menerapkan rata-rata yang Anda pasok, dan rata-rata tidak akan cocok dengan angka berbasis indeks di dokumen yang harus sama dengan satu.

• Dolar antar tahun: pakai tabel harga konsumen yang diterbitkan badan statistik nasional Anda, atau alat daya beli milik badan itu sendiri, supaya kedua tanggal datang dari satu rangkaian terekam dan bukan dari penilaian Anda.
• Membandingkan dua negara: tidak ada pemilih negara atau indeks di sini, dan keluarannya hanya dolar. Anda butuh indeks publik masing-masing negara dan tingkat rata-ratanya sendiri, lalu dua jalanan terpisah dari pangkat yang sama.
• Memecah kenaikan harga menjadi komponen seperti makanan, energi, atau perumahan: satu tingkat untuk satu keranjang adalah seluruh isi modelnya, dan bobot komponen datang dari uraian publik lembaga indeks.
• Memproyeksikan target pensiun, dana pensiun, atau jalur gaji sebagai keluaran resmi: ia jalan sebagai catatan coretan untuk satu perkalian, tetapi tidak ada penyesuaian penghasilan, pajak, atau upah, dan tidak ada keluarian riil lawan nominal. Halaman ini menjelaskan tingkat nominal dan riil dalam prosa dan tidak menghitung keduanya.
• Apa pun yang butuh jadwal: klausul indeksasi kontrak, eskalasi sewa, dan jalur pembayaran menginginkan nilai per periode, yang tidak pernah dihasilkan alat ini. Spreadsheet dengan satu baris per tahun adalah instrumen yang benar.

Metode yang bisa diulang, awal sampai akhir

Inilah yang mengubah rumus plus kotak input tanpa validasi menjadi angka yang berani Anda sodorkan ke orang lain. Sebagian besar prosesnya terjadi sebelum kalkulator dipakai.

• Sebutkan dua tanggal dan jumlahnya, lalu ubah tanggal menjadi satu jangka dalam tahun, karena jangka dan bukan tanggal yang dibutuhkan pangkat.
• Pilih tingkat dari sumber yang bisa Anda ucapkan dalam satu kalimat: catatan Anda sendiri untuk satu barang, indeks publik yang dirata-ratakan secara geometrik untuk yang umum, sasaran yang dinyatakan untuk sketsa ke depan.
• Putuskan di sisi mana jumlah itu duduk. Uang dalam istilah hari ini dibagi faktor untuk menjadi uang periode sebelumnya; uang dari periode sebelumnya dikalikan faktor untuk menjadi setara hari ini. Ini kesalahan paling sering dan tidak ada bagian alat yang akan memergokinya.
• Kangkangi hasil sebelum mempercayainya: bagi 72 dengan tingkat untuk mendapat waktu penggandaan, lalu tanya apakah horizon Anda pecahan darinya atau beberapa kelipatannya.
• Jalankan dua tingkat bertetangga yang sanggup Anda pertahankan, dan jika kesimpulannya berbalik di antara keduanya, laporkan rentang. Lalu tulis tingkat, tahun, dan sumbernya di samping hasil, karena kalkulator tidak menyimpan catatan ketiganya.

Pertanyaan yang sering diajukan