Apa Itu Faktorisasi Prima? Definisi, Metode, dan Contoh Lengkap

Jawaban singkat

Faktorisasi prima dari sebuah bilangan cacah adalah cara menuliskannya sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima — prima-prima yang jika dikalikan menghasilkan bilangan itu persis, masing-masing diulang sebanyak kali ia membaginya. Faktorisasi prima dari 12 adalah 2 × 2 × 3, biasanya ditulis 2^2 × 3. Faktorisasi prima dari 48 adalah 2 × 2 × 2 × 2 × 3, ditulis 2^4 × 3. Begitu setiap faktor dalam hasil kali adalah prima, pekerjaan selesai, karena tidak ada lagi yang bisa diuraikan.

Kedua bagian frasa ini sama pentingnya. “Faktorisasi” berarti memecah bilangan menjadi faktor-faktor yang jika dikalikan kembali menghasilkan bilangan itu, dan sebuah bilangan punya banyak faktorisasi: 48 = 6 × 8 = 4 × 12 = 3 × 16. “Prima” adalah yang membuat jawabannya bernilai tunggal — hanya satu dari pecahan-pecahan itu yang seluruhnya terdiri dari prima, dan hanya satu pecahan semacam itu yang ada. Jika Anda menulis 3 × 16, Anda telah memfaktorkan 48 tetapi belum selesai, karena 16 masih komposit dan ia sendiri adalah 2^4.

Di kelas matematika istilah ini muncul karena ia adalah mesin di balik beberapa hal yang Anda diminta hitung: faktor persekutuan terbesar, kelipatan persekutuan terkecil, menyederhanakan pecahan ke bentuk paling sederhana, dan menyederhanakan akar kuadrat. Di luar kelas, ia adalah aritmetika yang menjadi landasan kriptografi RSA dan sebagian besar kriptografi modern, sehingga alasan “susah memfaktorkan bilangan besar” menjadi penting.

• Dalam matematika: uraian multiplikatif lengkap sebuah bilangan menjadi prima, termasuk pengulangannya.
• Dari sebuah bilangan: bagilah berulang kali dengan bilangan prima sampai mencapai 1; prima-prima yang Anda pakai membagi adalah jawabannya, dikumpulkan menjadi pangkat.
• Dari 18: 2 × 3^2 · Dari 24: 2^3 × 3 · Dari 30: 2 × 3 × 5 · Dari 36: 2^2 × 3^2
• Dari 48: 2^4 × 3 · Dari 72: 2^3 × 3^2 · Dari 84: 2^2 × 3 × 7

Pertama, apa yang membuat sebuah bilangan menjadi prima

Bilangan prima adalah bilangan cacah lebih besar dari 1 yang memiliki tepat dua pembagi positif: 1 dan dirinya sendiri. Prima-prima di bawah 30 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Apa pun di atas 1 yang tidak ada dalam daftar itu disebut komposit, karena dapat dibangun dengan mengalikan bilangan-bilangan yang lebih kecil: 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7, 25 = 5 × 5, 27 = 3 × 3 × 3.

Yang menjebak orang adalah 1. Ia bukan prima, dan itu bukan aturan sepihak. Menurut definisi di atas, 1 hanya punya satu pembagi positif — dirinya sendiri, yang juga 1 — sehingga ia langsung gagal dalam uji “tepat dua pembagi”. Tetapi alasan yang lebih dalam adalah apa yang terjadi pada faktorisasi jika Anda mengizinkan 1 masuk: 12 lalu bisa ditulis sebagai 2^2 × 3, atau 1 × 2^2 × 3, atau 1 × 1 × 2^2 × 3, dengan 1 sebanyak yang Anda mau. Faktorisasi prima akan berhenti bersifat unik, padahal seluruh poin konsep ini adalah bahwa ia merupakan satu uraian kanonik. Karena itu 1 mendapat kategorinya sendiri: bukan prima dan bukan komposit.

Prima lain yang layak direnungkan adalah 2. Ia adalah satu-satunya prima genap, karena setiap bilangan genap lainnya habis dibagi 2 sehingga komposit. Satu fakta itu membentuk metodenya: Anda selalu menanggalkan semua 2 terlebih dahulu dengan membagi dua berulang kali, dan mulai dari 3 ke atas setiap prima yang Anda uji adalah ganjil. Jika sebuah bilangan tidak pernah habis dibagi 2, ia ganjil, dan seluruh faktorisasinya tersusun dari prima-prima ganjil.

Mengapa hanya ada satu faktorisasi prima

Pernyataan bahwa setiap bilangan cacah lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, dan hanya dapat ditulis demikian dengan satu cara selain urutan faktornya, disebut Teorema Dasar Aritmetika. Eksistensi adalah bagian yang mudah: jika bilangan Anda prima, Anda selesai, dan jika ia komposit Anda memecahnya, lalu memecah bagian-bagiannya, dan karena potongannya terus mengecil Anda tidak bisa melakukan itu selamanya — Anda pasti mendarat di prima. Keunikan adalah bagian yang benar-benar dalam, dan ia adalah teorema tentang bilangan bulat yang sudah punya alat buktinya sejak Euclides: jika sebuah prima membagi suatu hasil kali, ia membagi salah satu faktornya, sehingga dua hasil kali prima dari bilangan yang sama harus cocok faktor demi faktor.

Inilah sebabnya “si” faktorisasi prima adalah objek yang terdefinisi dengan baik. Tidak masalah bahwa satu orang menulis 48 = 6 × 8 dan yang lain menulis 48 = 2 × 24 — sederhanakan keduanya dan masing-masing menghasilkan 2^4 × 3, empat buah 2 dan satu 3. Yang berbeda hanyalah urutan Anda mendaftar prima-prima itu, sehingga bentuk baku mengumpulkan prima yang sama menjadi pangkat dan mendaftar naik: 2^4 × 3, bukan 3 × 2^4 atau 2 × 3 × 2^3.

Keunikan juga yang membuat faktorisasi berguna sebagai informasi, bukan sebagai salah satu dari beberapa jawaban. Karena pangkat-pangkat primanya tetap, mereka menyandikan segala hal multiplikatif tentang bilangan itu: berapa banyak pembaginya, apakah ia kuadrat sempurna, apa yang ia persekutukan dengan bilangan lain, menjadi apa akar kuadrat atau akar pangkatnya bila disederhanakan. Faktorisasi prima bukan pekerjaan membosankan — ia adalah deskripsi lengkap.

Metode 1 dan metode 2: pohon faktor vs tangga pembagian

Ada dua cara baku untuk menemukan faktorisasi prima dengan tangan, dan keduanya selalu sampai pada jawaban yang sama karena jawabannya unik. Pilih yang mana tergantung pada bilangan di depan Anda dan gaya kerja Anda, jadi sebaiknya kenal keduanya — kurikulum sekolah biasanya mengajarkan satu lalu menguji dengan yang lain, dan pertanyaan autocomplete tentang “pohon faktor” dan “metode kisi/perahu” sesungguhnya menanyakan hasil yang sama lewat dua rute.

Perbedaan dalam praktik adalah kedisiplinan versus kebebasan. Pohon faktor membolehkan Anda mengambil pecahan mudah apa pun yang Anda lihat, yang lebih cepat ketika Anda melihatnya, tetapi menyerahkan pengumpulan dan perhitungan prima kepada Anda di akhir. Tangga bersikeras agar Anda mulai dari prima terkecil, yang lebih lambat selangkah demi selangkah tetapi menghasilkan jawaban yang sudah terurut, tanpa ada yang hilang. Di bawah, masing-masing dikerjakan pada bilangan yang sama agar Anda bisa membandingkan bentuk keluarannya.

Pohon faktor

Tulis bilangan itu di atas, pecah menjadi dua faktor apa saja, lalu pecahkan setiap faktor komposit dengan cara yang sama sampai setiap cabang berakhir pada sebuah prima. Prima-prima di dasar pohon itulah faktorisasinya. Untuk 48: pecah menjadi 6 dan 8; 6 terpecah menjadi 2 × 3, keduanya prima, sehingga cabang-cabang itu berhenti; 8 terpecah menjadi 2 dan 4, lalu 4 terpecah menjadi 2 × 2. Daun-daunnya adalah 2, 3, 2, 2, 2 — empat buah 2 dan satu 3 — sehingga 48 = 2^4 × 3.

Kebebasan memilih pecahan adalah kekuatannya. Memulai dengan 48 = 4 × 12 justru menghasilkan daun 2, 2 lalu 2, 2, 3: multihimpunan yang sama, karena keunikan menjaminkannya. Kelemahannya adalah pembukuan. Daun-daun keluar berserakan dan tak terurut, sehingga Anda harus menghitungnya sendiri dan mengubah hitungan itu menjadi eksponen, dan pada pohon besar mudah sekali melewatkan satu cabang. Juga mudah berhenti pada bilangan yang Anda kira prima — 51 (yang adalah 3 × 17), 57 (3 × 19), 87 (3 × 29) dan 91 (7 × 13) adalah kembar klasik yang menyerupai prima, tak satu pun dari mereka prima.

Tangga, atau pembagian berulang

Metode tangga bersifat mekanis: bagilah dengan prima terkecil yang membagi bilangan itu, tulis hasil baginya di bawah, dan ulangi sampai hasil baginya 1. Prima-prima di sisi tangga adalah faktorisasinya, sudah dalam urutan naik. Untuk 48: 48 ÷ 2 = 24, lalu 24 ÷ 2 = 12, lalu 12 ÷ 2 = 6, lalu 6 ÷ 2 = 3, lalu 3 ÷ 3 = 1. Baca ke bawah dari sisi kiri: empat buah 2 dan satu 3, sehingga 48 = 2^4 × 3.

Karena Anda tidak pernah pindah ke prima yang lebih besar sebelum prima yang sekarang berhenti membagi, tidak ada yang bisa terlewat dan tidak ada yang bisa tertinggal dalam keadaan komposit — pembagi komposit pasti punya faktor prima yang lebih kecil, yang sudah Anda buang. Harganya adalah bilangan dengan pangkat 2 yang besar membutuhkan banyak baris: 48 saja butuh lima. Untuk apa pun di atas beberapa ribu, tangga pembagian adalah yang ingin Anda lihat langkah demi langkah alih-alih merekonstruksinya dari pohon, dan itulah persis cara kalkulator yang ditautkan di akhir halaman ini menyajikan hasilnya.

Mana yang dipakai

Pakai pohon ketika bilangannya punya pecahan ramah yang jelas — 84 = 4 × 21 mudah dilihat, dan baik 4 maupun 21 cepat diselesaikan. Pakai tangga ketika Anda tidak punya petunjuk, ketika bilangannya besar, atau ketika Anda butuh eksponennya keluar benar tanpa menghitung ulang. Dalam situasi ujian, tangga adalah pilihan aman secara baku untuk masukan yang lebih besar justru karena ia membosankan.

Satu tips yang berlaku untuk keduanya: lingkar atau garis bawahi setiap prima saat Anda menemukannya. Pada pohon, mencoret cabang yang sudah selesai mencegah Anda memecahnya lagi; pada tangga, memelihara daftar berjalan para pembagi memungkinkan Andaalikan kembali di akhir dan langsung menangkap kekeliruan aritmetika.

Aturan keterbagian yang mempercepat

Tangga hanya berjalan cepat jika Anda bisa menentukan, tanpa pembagian panjang, apakah sebuah prima membagi bilangan di depan Anda. Uji-uji ini eksak, bukan perkiraan, dan mereka mencakup prima-kecil yang benar-benar akan Anda pakai. Mereka juga memberi tahu kapan berhenti: begitu hasil bagi Anda adalah bilangan yang Anda kenali sebagai prima, Anda selesai — uji berhenti yang umum adalah bahwa jika tidak ada prima sampai akar kuadrat suatu bilangan yang membaginya, bilangan itu prima.

Untuk hasil bagi yang Anda dapat dalam praktik, 2, 3 dan 5 melakukan sebagian besar pekerjaan, karena mereka begitu sering membagi. Jumlah angka adalah trik paling berguna kedua yang perlu diketahui: mereka mengubah uji 3 dan 9 menjadi aritmetika mental, dan bilangan yang gagal di keduanya belum tentu prima, ia hanya tidak memiliki faktor 3.

• Habis dibagi 2: digit terakhirnya genap — 0, 2, 4, 6 atau 8.
• Habis dibagi 3: digit-digitnya berjumlah kelipatan 3. Untuk 84, 8 + 4 = 12, jadi 3 membaginya.
• Habis dibagi 4: dua digit terakhir membentuk bilangan yang habis dibagi 4. 48 berakhir di 48, dan 48 ÷ 4 = 12.
• Habis dibagi 5: digit terakhirnya 0 atau 5.
• Habis dibagi 9: digit-digitnya berjumlah kelipatan 9. 72 memberi 7 + 2 = 9, jadi 9 membaginya — dan 3 juga.
• Habis dibagi 6: habis dibagi 2 dan 3 sekaligus.
• Habis dibagi 10: digit terakhirnya 0, yang berarti bilangannya memuat baik 2 maupun 5.

Contoh lengkap, bilangan demi bilangan

Inilah bilangan-bilangan yang benar-benar dicari orang, dikerjakan dengan tangga agar Anda melihat setiap baris. Masing-masing ditutup dengan jawaban dalam bentuk baku dan sebuah pemeriksaan: banyak pembagi yang mengikuti dari eksponen-eksponennya, yang merupakan cara cepat memastikan Anda tidak kehilangan sebuah faktor. Jika Anda tidak ingin melakukan pembagian sendiri, kalkulator pada bagian di akhir menghasilkan tangga yang sama untuk bilangan apa pun sampai 10^14.

Perhatikan betapa berbedanya bentuk-bentuk itu. Sebagian hampir murni pangkat 2 (24, 48), sebagian seimbang di antara dua prima (36, 72), satu adalah hasil kali tiga prima berbeda tanpa ada yang berulang (30), dan satu melibatkan 7 (84). Membaca pola eksponen adalah setengah dari yang membuat faktorisasi prima berguna.

Faktorisasi prima dari 18

18 genap, jadi bagilah dengan 2: 18 ÷ 2 = 9. Sembilan tidak habis dibagi 2, jadi pindah ke 3: 9 ÷ 3 = 3, lalu 3 ÷ 3 = 1. Pembagi yang dipakai adalah 2, 3 dan 3, sehingga 18 = 2 × 3^2. Eksponennya 1 dan 2, jadi banyak pembaginya adalah (1 + 1) × (2 + 1) = 6: 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.

Faktorisasi prima dari 24

Terus bagikan dengan 2: 24 ÷ 2 = 12, 12 ÷ 2 = 6, 6 ÷ 2 = 3, dan 3 ÷ 3 = 1. Tiga buah 2 dan satu 3, sehingga 24 = 2^3 × 3. Periksa dengan mengalikannya kembali: 8 × 3 = 24. Banyak pembaginya adalah (3 + 1) × (1 + 1) = 8, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 dan 24.

24 adalah contoh bagus mengapa pembagian berulang sepadan dengan baris-barisnya: angka-angka 2 baru habis setelah tiga langkah, dan berhenti lebih awal akan meninggalkan Anda dengan sesuatu seperti 2 × 12, yang merupakan faktorisasi yang benar tetapi bukan faktorisasi prima.

Faktorisasi prima dari 30

30 ÷ 2 = 15; 15 ganjil, jadi 15 ÷ 3 = 5; dan 5 prima, jadi 5 ÷ 5 = 1. Maka 30 = 2 × 3 × 5. Setiap prima muncul tepat satu kali, yang membuat 30 bebas kuadrat — tidak ada faktor yang membaginya dua kali, dan akar kuadratnya tidak tersederhana sama sekali.

Ia juga bilangan terkecil yang merupakan hasil kali tiga prima berbeda, dan punya 2 × 2 × 2 = 8 pembagi: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30. Karena 30 memuat baik 2 maupun 5, ia habis dibagi 10, yang merupakan fakta yang sama dengan tulisan berbeda.

Faktorisasi prima dari 36

36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, lalu 9 ÷ 3 = 3, lalu 3 ÷ 3 = 1. Dua buah 2 dan dua buah 3, sehingga 36 = 2^2 × 3^2. Setiap eksponen di sini genap, yang persis berarti bahwa bilangannya adalah kuadrat sempurna: 36 = 6^2, dan √36 = 2 × 3 = 6.

Banyak pembaginya mengikuti sebagai (2 + 1) × (2 + 1) = 9 — jumlah pembagi yang ganjil, yang hanya terjadi pada kuadrat sempurna, karena para pembagi biasanya berpasangan dan pasangan 6 × 6 adalah satu yang tidak maju ke nilai baru. Sembilan pembaginya adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 dan 36.

Faktorisasi prima dari 48

Tangga lengkapnya: 48 ÷ 2 = 24, 24 ÷ 2 = 12, 12 ÷ 2 = 6, 6 ÷ 2 = 3, dan akhirnya 3 ÷ 3 = 1. Itu empat buah 2 dan satu 3, sehingga 48 = 2^4 × 3. Kalikan kembali sebagai pemeriksaan: 16 × 3 = 48.

Pohon faktor juga sampai ke sana dan tampak berbeda di perjalanan: 48 terpecah menjadi 6 dan 8, lalu 6 menjadi 2 × 3 dan 8 menjadi 2 × 4 dengan 4 menjadi 2 × 2, menyisakan daun-daun 2, 3, 2, 2, 2 — empat buah 2 dan satu 3 yang sama. Dengan eksponen 4 dan 1, banyak pembaginya adalah (4 + 1) × (1 + 1) = 10: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 dan 48.

Faktorisasi prima dari 72

72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1. Tiga buah 2 dan dua buah 3, sehingga 72 = 2^3 × 3^2, dan 8 × 9 = 72 mengonfirmasinya. Banyak pembaginya adalah (3 + 1) × (2 + 1) = 12: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 dan 72.

Jalan cepat dengan pohon adalah 72 = 8 × 9, dan keduanya sudah pangkat prima yang dikenal — 2^3 dan 3^2 — sehingga Anda bisa langsung menulis jawabannya. Itulah argumen untuk menghafal pangkat-pangkat prima kecil: mengenali 8 × 9, 16 × 3 atau 4 × 9 menghemat beberapa baris pembagian.

72 juga menunjukkan mengapa uraian ini dipakai untuk menyederhanakan bentuk akar: 2^3 × 3^2 = 2^2 × 3^2 × 2 = 36 × 2, sehingga √72 = 6√2.

Faktorisasi prima dari 84

84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, dan 21 ganjil sehingga 21 ÷ 3 = 7, dan 7 prima sehingga 7 ÷ 7 = 1. Dua buah 2, satu 3 dan satu 7: 84 = 2^2 × 3 × 7. Periksa: 4 × 3 × 7 = 84. Banyak pembaginya adalah (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 dan 84.

Rute pohonnya adalah 84 = 4 × 21, yang terpecah rapi menjadi 2 × 2 dan 3 × 7 dan memberi jawaban dalam dua tingkat. Perhatikan uji jumlah angka bekerja di langkah tengah: 8 + 4 = 12, dan 12 habis dibagi 3, sehingga Anda tahu sebelum membagi bahwa 3 masuk ke 84.

Yang bisa Anda lakukan setelah memilikinya

Alasan ini diajarkan dan bukan dilewati adalah bahwa sebagian besar pertanyaan multiplikatif menjadi aritmetika eksponen begitu kedua bilangannya difaktorkan. Untuk faktor persekutuan terbesar, ambil setiap prima yang muncul pada keduanya dan pakai eksponen yang lebih kecil: dengan 48 = 2^4 × 3 dan 36 = 2^2 × 3^2, prima yang bersekutu memberi 2^2 × 3 = 12. Untuk kelipatan persekutuan terkecil, ambil setiap prima yang muncul pada salah satunya dan pakai eksponen yang lebih besar: 2^4 × 3^2 = 144, yang memang bilangan terkecil yang dibagi oleh 48 maupun 36.

Menyederhanakan pecahan adalah operasi yang sama dari sudut pandang berbeda. 48/36 menjadi (2^4 × 3)/(2^2 × 3^2); coret 2^2 yang bersekutu dan satu 3 dan Anda tersisa dengan 2^2/3 = 4/3, tanpa menebak-nebak apakah 6 atau 12 hal terbesar yang bisa Anda pakai untuk membagi. Dan untuk bentuk akar, akar kuadrat tersederhana setiap kali sebuah eksponen setidaknya 2: √72 = √(2^3 × 3^2) = 2 × 3 × √2 = 6√2, sementara √30 = √(2 × 3 × 5) tidak punya apa pun untuk dikeluarkan karena ketiga eksponennya 1.

Eksponen juga menjawab pertanyaan struktural. Banyak pembagi adalah hasil kali tiap eksponen ditambah satu — untuk 72 itu (3 + 1)(2 + 1) = 12 — dan hasil kali itu ganjil tepat ketika bilangannya adalah kuadrat sempurna, sebab hanya saat itulah semua eksponen genap. Dua bilangan yang tidak punya prima persekutuan saling prima, yang itulah arti persis dari “tidak ada faktor persekutuan untuk dicoret”.

Di ujung jauh skalanya, memfaktorkan adalah masalah yang sulit dan bukan yang rutin. Mengalikan dua prima itu seketika; memulihkannya dari hasil kali sepanjang ratusan digit tidak layak, dan ketidaksimetrian itulah fondasi yang ditumpu kriptografi RSA. Lompatan dari 48 ke kriptografi sungguhan adalah soal kesulitan, bukan definisi — konsep yang baru saja Anda latih adalah konsep yang sama.

Kesalahan umum

Berhenti satu tingkat lebih awal. Kesalahan yang paling sering jauh melampaui yang lain: menulis 36 = 6 × 6, atau 24 = 4 × 6, atau 48 = 6 × 8 dan menyebutnya selesai. Itu faktorisasi, bukan faktorisasi prima — 4, 6 dan 8 semuanya komposit dan masih bisa diuraikan. Ujinya sederhana: lihat setiap faktor yang Anda tulis dan tanyakan apakah ia ada di daftar prima. Jika ada yang berupa 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 21, 25 atau komposit apa pun yang lain, lanjutkan.

Menganggap sebuah faktor prima padahal bukan. Kesalahan kebalikannya, dan lebih berbahaya karena tampak seperti jawaban lengkap. Bilangan seperti 51, 57, 87, 91, 111 dan 119 semuanya punya faktor tersembunyi yang kecil — 91 adalah 7 × 13, 119 adalah 7 × 17 — dan tidak ada yang berada di daftar prima. Jika Anda ragu tentang sebuah faktor, ujilah keterbagiannya khususnya dengan 2, 3, 5 dan 7; jika tidak ada prima sampai akar kuadrat bilangan itu yang membaginya, barulah ia sungguh prima.

Kehilangan prima yang berulang. Menulis 72 = 2^3 × 3 dan bukan 2^3 × 3^2, atau 18 = 2 × 3 dan bukan 2 × 3^2. Prima-prima yang membagi sebuah bilangan melakukannya sebanyak kali mereka membagi, sehingga faktor yang muncul dua kali harus muncul dua kali dalam hasil kali. Obat yang andal adalah mengalikan jawaban Anda kembali di akhir — 8 × 3 = 24 bukan 72, dan pemeriksaan itu menangkapnya dalam dua detik.

Menghitung 1 sebagai prima, atau menulisnya ke dalam jawaban. Keduanya tidak tidak berbahaya: 1 bukan prima, dan memasukkannya berarti faktorisasi tidak lagi unik, karena Anda bisa menempelkan 1 sebanyak apa pun. Bentuk baku tidak pernah memuat angka 1.

Menyusun jawaban dengan urutan yang salah. 3 × 2^4 secara matematis adalah hasil kali yang sama dengan 2^4 × 3, jadi itu bukan kesalahan isi, tetapi guru dan kunci jawaban mengharapkan prima yang menaik dengan prima yang sama dikumpulkan menjadi pangkat. Tulis 2^4 × 3.

Mencoba memfaktorkan bilangan yang sudah prima. 17 = 17; faktorisasi primanya adalah dirinya sendiri, yang merupakan jawaban sah dan bukan tanda bahwa Anda gagal melakukan sesuatu. Dan pertanyaan ini tidak punya jawaban sama sekali untuk 0 atau 1 — keduanya tidak memiliki faktorisasi prima — jadi periksa apa bilangan itu sebenarnya sebelum memulai tangga.

Melakukannya di browser

Untuk apa pun yang melewati dua atau tiga baris pembagian, kalkulator adalah alat yang tepat, dan ia sebaiknya menunjukkan cara kerjanya dan bukan hanya hasilnya — jawaban polos tidak mengajarkan apa pun, sedangkan tangga pembagian yang bisa Anda baca berdampingan dengan punya Anda adalah cara cepat memeriksa metode PR Anda. Kalkulator Faktorisasi Prima yang ditautkan di sini menerima bilangan apa pun sampai 10^14 dan mengembalikan hasil kali prima dalam bentuk pangkat atas, seperti 2^4 × 3 untuk 48, berdampingan dengan tangga pembagian lengkap yang menghasilkannya.

Ia juga mengembalikan dua hal yang jarang orang duga dan sering orang butuhkan: banyak pembagi dan daftar pembagi lengkap. Untuk 72 itu berarti 12 pembagi yang didaftar secara eksplisit, sehingga begitulah Anda memverifikasi pertanyaan “berapa faktor yang dimiliki N” tanpa menuliskan pasangan-pasangannya dengan tangan, dan sebuah lencana ketprimaan yang memutuskan pertimbangan “apakah faktor ini benar-benar prima?” untuk masukan apa pun — termasuk yang janggal seperti 91.

Ada mode batch untuk memfaktorkan beberapa bilangan dalam satu lintasan, yang Anda inginkan ketika menyederhanakan daftar bentuk akar atau mengurangi sekumpulan pecahan, dan begitulah contoh-contoh dalam panduan ini disilangperiksakan. Semuanya berjalan di halaman itu sendiri, sehingga angka yang Anda masukkan tetap di perangkat Anda dan alatnya bekerja tanpa server yang melakukan aritmetika.

Belajar dengan tangan tetap penting, karena metodenya itulah yang diujikan dan yang membuat keluarannya bermakna. Alur kerja yang masuk akal adalah mengerjakan tangganya sendiri di secarik kertas, lalu memastikan terhadap tangga milik alat — keduanya harus cocok baris demi baris, dan jika tidak, ketidakcocokan itu memberi tahu Anda persis di mana aritmetika Anda keliru.

Pertanyaan yang sering diajukan